高等数学

常用公式

基础变形

公式名	公式
完全立方差公式	$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
完全立方和公式	$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
平方差公式	$(x_0-x_1)(x_0+x_1) = x_0^2-x_1^2$
完全平方差公式	$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
完全平方和公式	$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

初等函数的关系

1. ${ \lim\limits_{x \to 0} \frac {\tan x}{x} \Longrightarrow \lim\limits_{x \to 0} \frac {\sin x}{x} \frac 1{\cot x} \Longrightarrow \lim\limits_{x \to 0} \frac 1{\cot x} \Longrightarrow 1}$

常用三角函数值

1. $\arctan 1 = \frac {\pi}4$
2. $\arccos 0= \frac {\pi}2$
3. $\arcsin 1= \frac {\pi}2$
4. $\arctan 0 = 0$

基本三角函数的值

$x$	$\sin x$	$\cos x$	$\tan x$
$0$	$0$	$1$	$0$
$\frac {\pi}2$	$1$	$0$	不存在/\infty
$\frac {\pi}3$	$\frac {\sqrt[]{3}}2$	$\frac 12$	$\sqrt[]{3}$
$\frac {\pi}4$	$\frac{\sqrt[]{2}}2$	$\frac {\sqrt[]{2}}2$	$1$
$\frac {\pi}6$	$\frac 16$	$\frac {\sqrt[]{3}}2$	$\frac {\sqrt[]{3}}3$

常用的三角函数: \tan x = \frac {\sin x}{\cos x}

平方和公式

1. $\sin^2x+\cos^2x = 1$
2. $1+\tan^2x = \sec^2x$
3. $1+\cot^2x = \csc^2x$

二倍角

1. $\sin2x = 2\sin x \cdot \cos x$
2. $\cos 2x = \cos^2x - \sin^2x = 2\cos^2x - 1 = 1 - 2\sin^2x$

降次

1. $\cos^2x = \frac {1 + \cos 2x}x$
2. $\sin^2x = \frac {1 - \cos 2x}2$
3. $\sec^2x = \frac 1{\cos^2x}$

常用等价无穷小

此处需要注意: 等价无穷小请使用整体思想.同时，只有当x(狗)=0时，这里的规则才能使用

1. 基本三角函数

\begin{cases}
\sin x& \sim x\\
\arcsin x& \sim x
\end{cases}
\begin{cases}
\tan x& \sim x\\
\arctan x& \sim x
\end{cases}
\begin{cases}
e^x-1&\sim x\\
\ln(1 - x)&\sim x
\end{cases}

2. $1 - \cos x \sim \frac 12x^2$
3. $\sqrt[n]{1+x} - 1 \sim \frac \pi n \iff (1+ax)^b-1 \sim abx$
   \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac mn}
4. :
   • $x-\sin x \sim \frac 16x^3$
   • $\tan x -x \sim \frac 13x^3$
   • $\tan x - \sin x \sim \frac 12x^3$
   • $(1+ax)^b - 1 \sim abx$
   • $a^x - 1 \sim x\ln a$
   • $\ln(1 + x) \sim x$
   • $\ln(1 + x) - x \sim -\frac 12x^2$
   • $\sqrt[n]{1+x^m}-1=(1+x^m)^\frac 1n-1 \sim \frac 1nx^m$
   • $e^x-1 \sim x $

除以一个分式，等于乘以一个分式的倒数

求导公式

公式名	公式
	$x^n=\frac {nx^{n-1}} 1$

函数

函数名	样式
取整函数	$[x]$

指数函数

y=a^x(a>0且a≠1)

a) a > 0

性质: 单调递增

b) 0 < a < 1

性质: 单调递减

a^ma^n=a^{m+n}
a^m/a^n=a^{m-n}
(ab)^n=a^nb^n
(a^m)^n=a^{mn}

对数函数

与指数函数互为相反数(x和y交换)
0没有对数

y=\log^x_a(a>0且anot=1)
自然对数: \ln x=\log^x_e
常用对数: \lg x=\log^x_{10}
a^x=\log^{x\ln a}

M,N > 0

\log^M_N+\log^N_a=\log^{MN}_a
\log^M_a-\log^N_a=\log^{\frac MN}_a，\log^{M^N}_a=N\log_a^M

奇变偶不变，符号看象限
奇: \frac {\pi}2 的奇数性和偶数性
变: 不论多大的角全都认为是内角

三角函数

a) y=\sin x

定义域: (-\infty,+\infty)
值域: [-1,1]
四大特性: 奇， 2{\pi} , [2k{\pi}-\frac {\pi}2,2k{\pi}+\frac {\pi}2] 个 ， [2k{\pi}+\frac {\pi}2, \frac 32{\pi}] ，单调递减.

\sin(\alpha+\beta)=\sin 2 \cos \beta \pm \sin \alpha \sin \beta

b) y=\cos x

定义域: (-\infty,+\infty)
值域: [-1,1]
四大特征: 偶, 2{\pi} ，有界
[2k{\pi},2k{\pi}] 个 [2k{\pi} + {\pi}] ，单调递减

\cos(\alpha \pm \beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)\pm \cos(\alpha)\cos(\beta)
\cos 2\alpha= \cos^2\alpha - \sin\alpha

c) y=\tan x

定义域: x\not=k{\pi}+\frac {\pi} 2
值域: (-\infty,+\infty)

四大特性: 奇， {\pi} ，无界， (k{\pi}-\frac {\pi} 2) ， 单调递增

\tan(\alpha\pm\beta)=\frac {\tan(\alpha)\pm \tan(\beta)}{1\pm-\tan(\alpha)+\tan(\beta)}
\tan2x=\frac {2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

d) y=cot(x)

定义域: x\not=k{\pi}
值域: (-\infty,+\infty)

四大特性: 奇, {\pi} ，无界，(k{\pi} , k{\pi}+{\pi})

e) 正割: y=sec(x) = \frac 1{\cos(x)}

f) 余割: y=csc(x)=\frac 1{\sin(x)}

反三角函数

定义域和值域与三角函数的x和y交换了一下
注: 只有一一对应的函数才有反函数

a) 反正弦函数: y=\arcsin(x)

定义域: [-1,1]
值域: [-\frac {\pi} 2, \frac {\pi} 2]
三大特性: 奇，单调递增，有界

b) 反余弦函数: y=src\cos(x)

定义域: [-1,1]
值域: [0,{\pi}]

三大特性: 非奇非偶，单调递减，有界

c)反正切函数: y=\arctan(x)

定义域: (-\infty,+\infty)
值域: (0,{\pi})

三大特性: 奇，单调递增，有界
\begin{cases}
\lim\limits_{x \to +\infty} \arctan(x) x=\frac {\pi} 2\\
\lim\limits_{x \to +\infty} \arctan(x) x=-\frac {\pi} 2
\end{cases}

d) 反余切函数: y=arccot(x)

定义域: (-\infty,+\infty)
值域: (0,{\pi})

三大特性: 非奇非偶，单调递减，有界
\begin{cases}
\lim\limits_{x \to +\infty} arccot x=0\\
\lim\limits_{x \to -\infty} arccot x={\pi}
\end{cases}

复合函数

复合函数要拆开后再进行计算

数列

a是数列，a_1是首项
q是等比
d是公差
n是目前的序号(数列的下标)
等比是上一项和这一项的差的绝对值
公差是上一个数和下一个数之间的差

等差数列

a_n=a_1+(n-1)d

S_n=
\begin{cases}
na_1+\frac {n(n-1)}2d\\
\frac {n(a_1+a_n)}2
\end{cases}

等比数列

a_n=a_n=a_1 q_n-1

S_n=
\begin{cases}
\frac {a_1(1-q^n)}{1-q} q\not=1 \\
na_1 q=1
\end{cases}

极限

数列极限

数列极限的定义: y=f(n), n\in Z + (m in N^+)

数列的描述性定义: 当n无限大时，数列的无线近于某个常数 \alpha

极限的性质:
唯一性: 若数列极限存在，其值为唯一.
有界性: 数列
偶然性: \lim\limits_{n \to \infty} x=a>0(<0)=>x_n>0(<0)

函数极限

函数极限的定义: \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A \iff \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A
左右极限相等，极限才存在

---	$\lim\limits_{x \to +\infty}$	$\lim\limits_{x \to -\infty}$	$\lim\limits_{x \to \infty}$
$arctan x$	$\frac{\pi} 2$	$\frac{\pi} 2$	不存在
$arccot x$	$0$	${\pi}$	不存在
$e^x$	$0$	$+\infty$	不存在

f(x)在x=0处是否有定义，与 \lim\limits_{x \to \infty} f(x) 是否存在无关

函数极限

\lim\limits_{x \to 0} f(x) = A \iff f(x) = A+\alpha (\frac {\alpha_1}{x_0x_1} \alpha = 0 )
注: 此处字迹模糊，可能有误

有限个无穷小量的和还是无穷小量
有限个无穷小量的乘积还是无穷小量
无穷小函数与有界函数的乘积还是无穷小
常用的有界函数: \sin x, \cos x, \arcsin x, \arctan x
有界+有界=有界

以无穷大为极限的函数称为无穷大量
无穷大量与x的变化趋势有关

无穷大包括正无穷和负无穷

非零无穷小才能做分母

\lim[f(x)\pm g(x)] = \lim f(x)\pm \lim g(x) = A \pm B

极限必须存在; 只适用于有限项.

有极限 + 无极限 = 无极限

\lim[f(x)\times g(x)] 有极限，那么他们两个极限比一致

\lim[f(x)\times g(x)] = \lim f(x) \times \lim g(x) = AB

分母的极限为0，分子的极限一定为0

夹逼定理

两个重要极限

当数列两端的极限相等，中间的极限也相等.
适用于无穷多项和的数列极限

注: 分子一般不动

单调有界数列必有极限. (收敛)

重要极限

易出选择题

\lim\limits_{狗 \to 0} \frac {\sin 狗}{狗} = 1 注意成立的条件
x \in (0, \frac {\pi} 2), \sin x

\lim\limits_{n \to 0} (1+x)^\frac 1x = \lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac 1x)^x = e (e \approx 2.7)

本质: 1^\infty 型的极限

一共七种极限的类型(七个葫芦娃):
{ \frac 00, \frac \infty\infty, \infty - \infty, 0\cdot\infty, \infty^0, 0^0, 1^\infty }

秒杀公式：U^{v^{1^\infty}} = e^{\lim (u-1)}\cdot v

若: ......P27

问谁是谁，用谁比谁

问 \alpha是 \beta 的...用 \alpha 比 \beta \frac {\alpha}{\beta}

注意: 加减项的单个函数谨慎用等价无穷小.等价无穷小用于加减法，用完后分子分母的极限必须存在.

参考文章

• 数学公式katex常用语法总结