高等数学

Note

数学不是看出来的，是做出来的
不要做一题就看一题的答案
对于不会的题目，要多磨
记答案不是有效的方案，要记得是解题的方法
等式的两边都要记

常用公式

基础变形

公式名	公式
完全立方差公式	$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
完全立方和公式	$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
平方差公式	$(x_0-x_1)(x_0+x_1) = x_0^2-x_1^2$
完全平方差公式	$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
完全平方和公式	$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

初等函数的关系

${ \lim\limits_{x \to 0} \frac {\tan x}{x} \Longrightarrow \lim\limits_{x \to 0} \frac {\sin x}{x} \frac 1{\cot x} \Longrightarrow \lim\limits_{x \to 0} \frac 1{\cot x} \Longrightarrow 1}$

常用三角函数值

$\arctan 1 = \frac {\pi}4$
$\arccos 0= \frac {\pi}2$
$\arcsin 1= \frac {\pi}2$
$\arctan 0 = 0$

基本三角函数的值

$x$	$\sin x$	$\cos x$	$\tan x$
$0$	$0$	$1$	$0$
$\frac {\pi}2$	$1$	$0$	不存在/ $\infty$
$\frac {\pi}3$	$\frac {\sqrt[]{3}}2$	$\frac 12$	$\sqrt[]{3}$
$\frac {\pi}4$	$\frac{\sqrt[]{2}}2$	$\frac {\sqrt[]{2}}2$	$1$
$\frac {\pi}6$	$\frac 16$	$\frac {\sqrt[]{3}}2$	$\frac {\sqrt[]{3}}3$

常用的三角函数: $\tan x = \frac {\sin x}{\cos x}$

平方和公式

$\sin^2x+\cos^2x = 1$
$1+\tan^2x = \sec^2x$
$1+\cot^2x = \csc^2x$

二倍角

$\sin2x = 2\sin x \cdot \cos x$
$\cos 2x = \cos^2x - \sin^2x = 2\cos^2x - 1 = 1 - 2\sin^2x$

降次

$\cos^2x = \frac {1 + \cos 2x}x$
$\sin^2x = \frac {1 - \cos 2x}2$
$\sec^2x = \frac 1{\cos^2x}$

常用等价无穷小

此处需要注意: 等价无穷小请使用整体思想.同时，只有当x(狗)=0时，这里的规则才能使用

基本三角函数

$\begin{cases} \sin x& \sim x\\ \arcsin x& \sim x \end{cases} \begin{cases} \tan x& \sim x\\ \arctan x& \sim x \end{cases} \begin{cases} e^x-1&\sim x\\ \ln(1 - x)&\sim x \end{cases}$

$1 - \cos x \sim \frac 12x^2$
$\sqrt[n]{1+x} - 1 \sim \frac \pi n \iff (1+ax)^b-1 \sim abx$
$\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac mn}$
:
- $x-\sin x \sim \frac 16x^3$
- $\tan x -x \sim \frac 13x^3$
- $\tan x - \sin x \sim \frac 12x^3$
- $(1+ax)^b - 1 \sim abx$
- $a^x - 1 \sim x\ln a$
- $\ln(1 + x) \sim x$
- $\ln(1 + x) - x \sim -\frac 12x^2$
- $\sqrt[n]{1+x^m}-1=(1+x^m)^\frac 1n-1 \sim \frac 1nx^m$
- $e^x-1 \sim x $

除以一个分式，等于乘以一个分式的倒数

求导公式

公式名	公式
	$x^n=\frac {nx^{n-1}} 1$

函数

函数名	样式
取整函数	$[x]$

指数函数

$y=a^x(a>0且a≠1)$

a) a > 0

性质: 单调递增

b) 0 < a < 1

性质: 单调递减

$a^ma^n=a^{m+n}$
$a^m/a^n=a^{m-n}$
$(ab)^n=a^nb^n$
$(a^m)^n=a^{mn}$

对数函数

与指数函数互为相反数(x和y交换)
0没有对数

$y=\log^x_a(a>0且anot=1)$
自然对数: $\ln x=\log^x_e$
常用对数: $\lg x=\log^x_{10}$
$a^x=\log^{x\ln a}$

M,N > 0

$\log^M_N+\log^N_a=\log^{MN}_a$
$\log^M_a-\log^N_a=\log^{\frac MN}_a$ ， $\log^{M^N}_a=N\log_a^M$

奇变偶不变，符号看象限
奇: $\frac {\pi}2$ 的奇数性和偶数性
变: 不论多大的角全都认为是内角

三角函数

a) $y=\sin x$

定义域: $(-\infty,+\infty)$
值域: $[-1,1]$
四大特性: 奇， $2{\pi}$ , $[2k{\pi}-\frac {\pi}2,2k{\pi}+\frac {\pi}2]$ 个， $[2k{\pi}+\frac {\pi}2, \frac 32{\pi}]$ ，单调递减.

$\sin(\alpha+\beta)=\sin 2 \cos \beta \pm \sin \alpha \sin \beta$

b) $y=\cos x$

定义域: $(-\infty,+\infty)$
值域: $[-1,1]$
四大特征: 偶, $2{\pi}$ ，有界
$[2k{\pi},2k{\pi}]$ 个 $[2k{\pi} + {\pi}]$ ，单调递减

$\cos(\alpha \pm \beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)\pm \cos(\alpha)\cos(\beta)$
$\cos 2\alpha= \cos^2\alpha - \sin\alpha$

c) $y=\tan x$

定义域: $x\not=k{\pi}+\frac {\pi} 2$
值域: $(-\infty,+\infty)$

四大特性: 奇， ${\pi}$ ，无界， $(k{\pi}-\frac {\pi} 2)$ ，单调递增

$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac {\tan(\alpha)\pm \tan(\beta)}{1\pm-\tan(\alpha)+\tan(\beta)}$
$\tan2x=\frac {2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

d) $y=cot(x)$

定义域: $x\not=k{\pi}$
值域: $(-\infty,+\infty)$

四大特性: 奇, ${\pi}$ ，无界， $(k{\pi} , k{\pi}+{\pi})$

e) 正割: $y=sec(x) = \frac 1{\cos(x)}$

f) 余割: $y=csc(x)=\frac 1{\sin(x)}$

反三角函数

定义域和值域与三角函数的x和y交换了一下
注: 只有一一对应的函数才有反函数

a) 反正弦函数: $y=\arcsin(x)$

定义域: $[-1,1]$
值域: $[-\frac {\pi} 2, \frac {\pi} 2]$
三大特性: 奇，单调递增，有界

b) 反余弦函数: $y=src\cos(x)$

定义域: $[-1,1]$
值域: $[0,{\pi}]$

三大特性: 非奇非偶，单调递减，有界

c)反正切函数: $y=\arctan(x)$

定义域: $(-\infty,+\infty)$
值域: $(0,{\pi})$

三大特性: 奇，单调递增，有界
$\begin{cases} \lim\limits_{x \to +\infty} \arctan(x) x=\frac {\pi} 2\\ \lim\limits_{x \to +\infty} \arctan(x) x=-\frac {\pi} 2 \end{cases}$

d) 反余切函数: $y=arccot(x)$

定义域: $(-\infty,+\infty)$
值域: $(0,{\pi})$

三大特性: 非奇非偶，单调递减，有界
$\begin{cases} \lim\limits_{x \to +\infty} arccot x=0\\ \lim\limits_{x \to -\infty} arccot x={\pi} \end{cases}$

复合函数

复合函数要拆开后再进行计算

数列

a是数列， $a_1$ 是首项
q是等比
d是公差
n是目前的序号(数列的下标)
等比是上一项和这一项的差的绝对值
公差是上一个数和下一个数之间的差

等差数列

$a_n=a_1+(n-1)d$

$S_n= \begin{cases} na_1+\frac {n(n-1)}2d\\ \frac {n(a_1+a_n)}2 \end{cases}$

等比数列

$a_n=a_n=a_1 q_n-1$

$S_n= \begin{cases} \frac {a_1(1-q^n)}{1-q} q\not=1 \\ na_1 q=1 \end{cases}$

极限

数列极限

数列极限的定义: $y=f(n), n\in Z + (m in N^+)$

数列的描述性定义: 当n无限大时，数列的无线近于某个常数 $\alpha$

极限的性质:
唯一性: 若数列极限存在，其值为唯一.
有界性: 数列
偶然性: $\lim\limits_{n \to \infty} x=a>0(<0)=>x_n>0(<0)$

函数极限

函数极限的定义: $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A \iff \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A$
左右极限相等，极限才存在

---	$\lim\limits_{x \to +\infty}$	$\lim\limits_{x \to -\infty}$	$\lim\limits_{x \to \infty}$
$arctan x$	$\frac{\pi} 2$	$\frac{\pi} 2$	不存在
$arccot x$	$0$	${\pi}$	不存在
$e^x$	$0$	$+\infty$	不存在

$f(x)$ 在 $x=0$ 处是否有定义，与 $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$ 是否存在无关

函数极限

$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = A \iff f(x) = A+\alpha (\frac {\alpha_1}{x_0x_1} \alpha = 0 )$
注: 此处字迹模糊，可能有误

有限个无穷小量的和还是无穷小量
有限个无穷小量的乘积还是无穷小量
无穷小函数与有界函数的乘积还是无穷小
常用的有界函数: $\sin x$ , $\cos x$ , $\arcsin x$ , $\arctan x$
有界+有界=有界

以无穷大为极限的函数称为无穷大量
无穷大量与x的变化趋势有关

无穷大包括正无穷和负无穷

非零无穷小才能做分母

$\lim[f(x)\pm g(x)] = \lim f(x)\pm \lim g(x) = A \pm B$

极限必须存在; 只适用于有限项.

有极限 + 无极限 = 无极限

$\lim[f(x)\times g(x)]$ 有极限，那么他们两个极限比一致

$\lim[f(x)\times g(x)] = \lim f(x) \times \lim g(x) = AB$

分母的极限为0，分子的极限一定为0